Enoncé

Equation d'Euler

L'équation d'Euler permet de décrire le mouvement d'un Fluide parfait (sans viscosité):
$$\rho \frac{D\vec v}{Dt}=\rho.\vec g-\vec{grad}(P)$$
$$\rho[\frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v.\vec \nabla).\vec v]=\rho.\vec g-\vec{grad}(P)$$
Avec:

• \(\frac{D\vec v}{Dt}\): Dérivation particulaire
• \(\frac{\partial \vec v}{\partial t}\): accélération locale
• \((\vec v.\vec \nabla).\vec v\): accélération convective
• \(\rho.\vec g\): force volumique de pesanteur
• \(\vec{grad}(P)\): force volumique de pression

:
Démonstration de l'équation d'Euler
1
Pour un fluide parfait, une particule explore un champ de vitesse \(\vec v(M,t)\) eulérien.
D'aprés Deuxième loi de Newton - Principe fondamental de la dynamique pour la particule \(dm=\rho d\tau\):
$$dm.\vec a=dm.\vec g- \vec{grad}(P).d\tau$$
$$\rho.\vec a=\rho .\vec g-\vec{grad}(P)$$
2
Or \(\vec a=\frac{D\vec v}{Dt}=\frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v.\vec \nabla).\vec v\) (Dérivation particulaire)
3
$$\rho[\frac{\partial \vec v}{\partial t}+(\vec v.\vec \nabla).\vec v]=\rho.\vec g-\vec{grad}(P)$$
Avec:

• \(\frac{\partial \vec v}{\partial t}\): accélération locale
• \((\vec v.\vec \nabla).\vec v\): accélération convective
• \(\rho.\vec g\): force volumique de pesanteur
• \(-\vec{grad}(P)\): force volumique de pression

Ici, \(\rho(\vec v.\vec\nabla)\vec v\) est un terme non-linéaire